Chuyên đề đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối

Lý thuyết chung: $|A|=\left\{\begin{matrix} A \: khi \,  A \geq 0\\ -A \: khi \: A<0\end{matrix}\right.$.

1. Đồ thị hàm số $y=|f(x)|$.

Phương pháp: Gọi (C) là đồ thị của hàm số $y=f(x)$.

Hàm số $|f(x)|=\left\{\begin{matrix} f(x) \: khi \,  f(x) \geq 0\\ -f(x) \: khi \: f(x)<0\end{matrix}\right.$.

Tức là 

• Giữ nguyên phần đồ thị hàm số (C) phía trên trục Ox, đặt là $(C_{1})$.
• Phần đồ thị (C) phía dưới trục Ox đem lấy đối xứng qua Ox được phần đồ thị mới đặt là $(C_{2})$.
• Đồ thị hàm số $y=|f(x)|$ là $(C_{1}) \cup (C_{2})$.

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số $y=|x^{3}+3x^{2}-2|$ biết đồ thị hàm số $y=x^{3}+3x^{2}-2$ là 

Giải: Ta có $y=|x^{3}+3x^{2}-2|=\left\{\begin{matrix} x^{3}+3x^{2}-2 \: khi \:  x \in [-1-\sqrt{3},-1] \cup [-1+\sqrt{3}, +\infty) \\ -(x^{3}+3x^{2}-2) \: khi \: x \in (-\infty, -1-\sqrt{3}) \cup (-1, -1+\sqrt{3})\end{matrix}\right.$.

Ta thấy đồ thị hàm số $y=-(x^{3}+3x^{2}-2)$ (màu đỏ) là đồ thị đối xứng của đồ thị $y=x^{3}+3x^{2}-2$ (màu xanh) qua trục Ox.

Đồ thị $y=x^{3}+3x^{2}-2$ ta chỉ lấy trong khoảng $ x \in [-1-\sqrt{3},-1] \cup [-1+\sqrt{3}, +\infty)$ và đồ thị $y=-(x^{3}+3x^{2}-2)$ ta lấy trong khoảng $x \in (-\infty, -1-\sqrt{3}) \cup (-1, -1+\sqrt{3})$. Ta có đồ thị hàm số $y=|x^{3}+3x^{2}-2|$ như sauHay

• Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị (C) phía trên trục Ox, đặt là $(C_{1})$
• Bước 2: Phần đồ thị (C) bên dưới trục Ox đem lấy đối xứng qua Ox được phần đồ thị mới đặt $(C_{2})$.

Ta có đồ thị hàm số $y=|x^{3}+3x^{2}-2|$ là $C_{1} \cup C_{2}$.

2. Đồ thị hàm số $y=f(|x|)$

Phương pháp: Gọi (C) là đồ thị hàm số $y=f(x)$.

Ta có $y=f(|x|)=\left\{\begin{matrix} f(x) \: khi \: x \geq 0\\ f(-x) \:  khi \: x <0 \end{matrix} \right. $

Tức là 

• Bên phải trục Oy giữ nguyên (C) đặt là $(C_{1})$, bỏ phần (C) còn lại.
• Lấy đối xứng với $(C_{1})$ ở trên qua Oy được $(C_{2})$.
• Đồ thị hàm số $y=f(|x|)$ là $(C_{1}) \cup (C_{2})$

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số $y=|x|^{3}-3x^{2}+1$ biết đồ thị hàm số $y=x^{3}-3x^{2}+1$ là 

Giải: 

$y=|x|^{3}-3x^{2}+1=\left\{\begin{matrix} x^{3}-3x^{2}+1 \: khi \: x \geq 0\\ -x^{3}-3x^{2}+1 \:  khi \: x <0 \end{matrix}\right.$

Ta thấy đồ thị hàm số $y=-x^{3}-3x^{2}+1$ (màu đen) là đồ thị đối xứng của đồ thị hàm số $y=x^{3}-3x^{2}+1$ (màu nâu) qua trục Oy.

Đồ thị hàm số $y=x^{3}-3x^{2}+1$ lấy trong khoảng $x \geq 0$ và đồ thị hàm số $y=-x^{3}-3x^{2}+1$ lấy trong khoảng x<0. Vậy đồ thị hàm số $y=|x|^{3}-3x^{2}+1$ như sau

Hay

• Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục tung của đồ thị hàm số (C) ta đặt là $(C_{1})$.
• Bước 2: Lấy đối xứng với $(C_{1})$ ở trên qua trục Oy được đồ thị $(C_{2})$.
• Đồ thị hàm số $y=|x|^{3}-3x^{2}+1$ là $(C_{1}) \cup (C_{2})$

3. Đồ thị hàm số $y=|f(x)|. g(x)$

Ta có $y=|f(x)|.g(x)=\left\{\begin{matrix} f(x).g(x) \: khi \: f(x) \geq 0\\ -f(x).g(x) \: khi \: f(x)<0\end{matrix}\right.$.

Phương pháp: 

• Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số $y=f(x).g(x)$.
• Bước 2: Lấy đối xứng đồ thị hàm số $y=f(x).g(x)$ qua trục Ox ta được đồ thị hàm số $y=-f(x)g(x)$.
• Bước 3: Đồ thị hàm số cần tìm là phần đồ thị hàm số $y=f(x).g(x)$ khi $f(x) \geq 0$ và phần đồ thị hàm số $y=-f(x).g(x)$ khi $f(x) <0.$

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số $y=|x-1|.(x^{2}-x-2)$.

Giải: $y=|x-1|(x^{2}-x-2)=\left\{\begin{matrix} x^{3}-2x^{2}-x+2 \: khi \: x \geq 1 \\ -(x^{3}-2x^{2}-x+2) \: khi \: x <1 \end{matrix}\right.$

Đồ thị hàm số $y=x^{3}-2x^{2}-x+2$

 Đồ thị hàm số $y=x^{3}-2x^{2}-x+2$ là đối xứng của đồ thị hàm số $y=-(x^{3}-2x^{2}-x+2$.

Đồ thị hàm số $y=x^{3}-2x^{2}-x+2$ lấy trong khoảng $x \geq 1$ và đồ thị hàm số $y=-(x^{3}-2x^{2}-x+2$ lấy trong khoảng $x<1$ ta có đồ thị hàm số $y=|x-2|(x^{2}-x-2)$. như sau