Chuyên đề hình học không gian Oxyz

TÓM TẮT LÍ THUYẾT

 Trong không gian Oxyz cho $A(x_{A}, y_{A}, z_{A})$, $B(x_{B}, y_{B}, z_{B})$, $C(x_{C}, y_{C}, z_{C}$, $D(x_{D}, y_{D}, z_{D})$ và $\overrightarrow{a}=(a_{1}, a_{2}, a_{3}), \overrightarrow{b}=(b_{1}, b_{2}, b_{3})$ thì 

1. Phép cộng trừ vecto, tích vô hướng của hai vecto (giống như trong mặt phẳng Oxy).

• $\overrightarrow{a} \pm \overrightarrow{b}=(a_{1} \pm b_{1}, a_{2} \pm b_{2}, a_{3} \pm b_{3}).$
• $k \overrightarrow{a}=(k.a_{1}, k.a_{2}, k. a_{3}).$
• $\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}+a_{3}.b_{3}$.
• $\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}$  $\Rightarrow  \overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}=0 \Leftrightarrow \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$

• $\overrightarrow{AB}=(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A}, z_{B}-z_{A})$

2. Module của một vecto (độ dài vecto)

• $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$.
• $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}$.

3. Tích có hướng của hai vecto là một vecto

$[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=(\begin{vmatrix} a_{2} &a_{3} \\ b_{2}& b_{3} \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_{3} &a_{1} \\b_{3} &b_{1}  \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\b_{1}  & b_{2} \end{vmatrix})$

Chú ý:

• $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}] \perp \overrightarrow{a}, [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}] \perp \overrightarrow{b}.$
• $|[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]|=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.\sin (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) $.
• $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương khi $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}] = \overrightarrow{0}$.
• $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ đồng phẳng khi $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]. \overrightarrow{c}=0$.

Cách bấm máy để tính tích có hướng của hai vecto

• Bước 1: Nhấn mode 8, chọn 1.
• Bước 2: Nhập $x_{A}, y_{A}, z_{A}$ của vecto $\overrightarrow{a}$.
• Bước 3: Nhấn Shift 5, nhấn chọn 1. Ta nhấn số 2, nhấn số 1 rồi nhập dữ liệu cho vecto $\overrightarrow{b}$.
• Bước 4: Nhấn AC, nhấn shift 5, nhấn 3 để chọn vecto $\overrightarrow{a}$. Tiếp tục nhấn Shift 5, nhấn 4 để chọn vecto $\overrightarrow{b}$.

Ứng dụng 

•  Tính diện tích hình bình hành ABCD: $S_{ABCD}=|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]|$.
• Tính diện tích tam giác ABC: $S_{ABC}=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]|$.
• Thể tích hình hộp ABCDA'B'C'D': $V=|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}]. \overrightarrow{AA'}|$.
• Tính thể tích hình tứ diện ABCD: $V=\frac{1}{6} |[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]. \overrightarrow{AD}|$.
• Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng $|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]=\overrightarrow{0}$.
• Chứng minh 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng: $[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]. \overrightarrow{AD}=0$

4. Tọa độ trung điểm, trọng tâm.

• I là trung điểm của AB khi đó $\left\{\begin{matrix} x_{I}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}\\ y_{I}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\ z_{I}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2} \end{matrix}\right.$
• G là trọng tâm của tam giác ABC khi đó $\left\{\begin{matrix} x_{G}=\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}\\ y_{G}=\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3} \\ z_{G}=\frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3} \end{matrix}\right.$
• G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi đó $\left\{\begin{matrix} x_{G}=\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}+x_{D}}{4}\\ y_{G}=\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}+y_{D}}{4} \\ z_{G}=\frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}+z_{D}}{4} \end{matrix}\right.$