Đáp án và lời giải chi tiết một số bài- Chuyên đề tích phân chống Casio

Đáp án

Hướng dẫn giải một số bài

Câu 1: Cho tích phân $I=\int_{1}^{e}\frac{\ln x + e^{\ln x}}{x}dx=e^{a}-b$, giá trị của $a+2b$ bằng

A. 2.

B. $\frac{3}{2}$.

C. $\frac{5}{2}$.

D. 3.

Giải: Đáp án A

Cách 1: Ta có $I=\int_{1}^{e}\frac{\ln x + e^{\ln x}}{x}dx=e^{a}-b=\int_{1}^{e}(\ln x+e^{ \ln x})d (\ln x)=\left.\begin{matrix} (\frac{\ln ^{2}x}{2}+e^{\ln x})\end{matrix}\right|_{1}^{e}=e-\frac{1}{2}$.

Mà $I=e^{a}-b=e-\frac{1}{2} \Rightarrow a=1, b=\frac{1}{2}$. Vậy a+2b=2.

Cách 2: Tính tích phân $I=\int_{1}^{e}\frac{\ln x + e^{\ln x}}{x}dx$ gán bằng A

Giải hệ $\left\{\begin{matrix} e^{a}-b=A\\a+2b=P \end{matrix}\right.$

Ta thấy đáp án A ra kết quả đẹp nhất nên ta chọn A.

Câu 2: Cho đẳng thức $2 \sqrt{3}m-\int_{0}^{1}\frac{4x^{3}}{(x^{4}+2)^{2}}dx=0$. Khi đó $144m^{2}-1$ bằng

A. $-\frac{2}{3}$.

B. $-\frac{1}{3}$.

c. $\frac{1}{3}$.

D. $\frac{2}{3}$.

Giải: Đáp án A

Cách 1: Ta có $\int_{0}^{1}\frac{4x^{3}}{(x^{4}+2)^{2}}dx= \int_{0}^{1}\frac{d(x^{4})}{(x^{4}+2)^{2}}=\left.\begin{matrix} (-\frac{1}{x^{4}+2})\end{matrix}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{6}$

Khi đó $2 \sqrt{3}m-\int_{0}^{1}\frac{4x^{3}}{(x^{4}+2)^{2}}dx=0 $

$\Leftrightarrow 2 \sqrt{3}m-\frac{1}{6}=0 \Leftrightarrow m=\frac{\sqrt{3}}{36} \Rightarrow 144m^{2}-1=-\frac{2}{3}$

Cách 2: 

Tích tích phân $\int_{0}^{1}\frac{4x^{3}}{(x^{4}+2)^{2}}dx$

Sau đó ta tính m rồi tính $144m^{2}+1$.

Câu 3: Cho tích phân $\int_{0}^{a}\frac{(2x+1)e^{x}+2x}{e^{x}+1}dx=1+\ln \frac{e+1}{2}$, giá trị của số thực dương a bằng

A. $a=\frac{3}{2}$.

B. $a=\frac{1}{2}$.

C. $a=1$.

D, $a=2$.

Giải: Đáp án C

Ta có $\int_{0}^{a}\frac{(2x+1)e^{x}+2x}{e^{x}+1}dx=\int_{0}^{a}(2x+\frac{e^{x}}{e^{x}+1})dx$

$=\int_{0}^{a}2xdx+\int_{0}^{a}\frac{d(e^{x}+1)}{e^{x}+1}=\left.\begin{matrix}[x^{2}+\ln(e^{x}+1)] \end{matrix}\right|_{0}^{a}=a^{2}+\ln (\frac{e^{a}+1}{2})=1+\ln \frac{e+1}{2}$

$\Rightarrow a=1$

Cách 2: Nhập biểu thức $\int_{0}^{a}\frac{(2x+1)e^{x}+2x}{e^{x}+1}dx-1+\ln \frac{e+1}{2}$

dùng lệnh CALC để gán các giá trị a trong đáp án. Kết quả nào bằng 0 là đáp án đúng.