Lời giải dạng 2 chuyên đề SỐ PHỨC môn toán ôn thi THPT quốc gia

Câu 1:

Gọi số phức $z=x+yi$.

1. Từ giả thiết ta có $|z+ \overline{z}+3|=4 \Leftrightarrow |2x+3|=4 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+3=4\\  2x+3=-4\\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\\  x=-\frac{7}{2}\\ \end{matrix}\right.$

Vậy tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $x=\frac{1}{2}$ và $x=-\frac{7}{2}$.

2. $w=(2-x-yi)(i+x-yi)=(2x-x^{2}+y-y^{2})+(2-x-2y)i$

Để $w$ là số thực thì $2-x-2y=0$

Vậy tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $x+2y-2=0$.

3. Gọi M là điểm biểu diễn số phức $z$

A là điểm biểu diễn số phức $z_{1}=4i \Rightarrow A(0,4)$

B là điểm biểu diễn số phức $z_{2}=-4i \Rightarrow B(0,-4)$

Khi đó từ giả thiết ta có $MA+MB=10$ nên tập hợp các điểm M là elip nhận A,B làm tiêu điểm. Gọi phương trình của elip là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Ta có $2a=10 \Leftrightarrow a=5$

$AB=2c \Leftrightarrow c=4$. Khi đó $b^{2}=5^{2}-4^{2}=9$.

Vậy quỹ tích điểm $M$ là elip $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$.

Câu 2: Đặt $w=(1+i\sqrt{3})z+2$ thì $z=\frac{w-2}{1+i\sqrt{3}}$
Do đó theo giả thiết $|z-1| \leq 2 \Leftrightarrow  | \frac{w-2}{1+i \sqrt{3}}-1 | \leq 2 \Leftrightarrow |w-(3+i \sqrt{3})| \leq 2|1+i \sqrt{3}| \Leftrightarrow |w-(3+i \sqrt{3})| \leq 4$.
Vậy tập hợp cần tìm là hình tròn có tâm $I(3,\sqrt{3})$, bán kính $R=4$ kể cả đường biên. Đó là hình tròn có phương trình  $(x-3)^{2}+(y-\sqrt{3})^{2} \leq 16$.

Câu 3: Gọi E là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức $1+4i$. Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn phương trình thứ nhất là đường tròn tâm E, bán kính R = 3. Phương trình đường tròn này là $(x-1)^{2}+(y-4)^{2}=9$.

Phương trình biểu diễn số phức $z$ ở phương trình thứ hai có dạng $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=5$.

Nghiệm của hệ phương trình là giao điểm của hai đường tròn $\left\{\begin{matrix}(x-1)^{2}+(y-4)^{2}=9 \\ (x+1)^{2}+(y-2)^{2}=5\\ \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow  \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-2x-8y+8=0\\ x^{2}+y^{2}+2x-4y=0\\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y-2=0 \\ x^{2}+y^{2}+2x-4y=0\\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\y=1  \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} x=-2 \\ y=4  \end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm $z=1+i$ và $z=-2+4i$.