Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua hai điểm M(1,8,0) và C(0,0,3) cắt các nửa trục dương Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho OG nhỏ nhất (G là trọng tâm của tam giác ABC) biết G(a, b, c). Tính P=a+b+c
A. 12.
B. 6.
C. 7.
D. 3
Bài Làm:
Đáp án B
Gọi A(m,0,0), B(0,n,0) (Đk: m, n>0)
$\Rightarrow$ Trọng tâm của tam giác ABC có tọa độ $G(\frac{m}{3}, \frac{n}{3},1)$
Vì mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(m,0,0), B(0,n,0), C(0,0,3) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng $\frac{x}{m}+\frac{y}{n}+\frac{z}{3}=1$.
Mà $M \in (P)$ suy ra $\frac{1}{m}+\frac{8}{n}=1\Rightarrow \frac{1}{m}=\frac{n-8}{n}\Rightarrow m=\frac{n}{n-8}>0\Rightarrow n>8$.
Ta có $OG=\sqrt{(\frac{m}{3})^{2}+(\frac{n}{3})^{2}+\frac{1}{9}}=\sqrt{(\frac{n}{3})^{2}+(\frac{n}{3(n-8)})^{2}+\frac{1}{9}}$.
Xét hàm số $f(x)=x^{2}+\frac{x^{2}}{(x-8)^{2}} (x>8) \Rightarrow f'(x)=2x(1-\frac{8}{(x-3)^{2}})=0\Rightarrow x=10$
Như vậy OG min khi n=10, m=5 tọa độ $G(\frac{10}{3},\frac{5}{3},1)\Rightarrow a+b+c=6$.
Ý kiến bạn đọc
Những tin mới hơn
Những tin cũ hơn
Trang chia sẽ kiến thức là một nơi mà mọi người có thể tìm kiếm và chia sẽ kiến thức về mọi lĩnh vực. Từ khoa học đến nghệ thuật, từ kinh tế đến xã hội, trang chia sẽ kiến thức là một nguồn tài nguyên quý giá cho mọi người. Trong xã hội ngày nay, việc học hỏi và chia sẽ kiến thức là rất quan trọng....