Lời giải bài số 20, 21, 28 Đề thi thử THPT quốc gia môn toán năm 2017 của trường THPT Hà Huy Tập lần 1

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 20: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $4(\log_{2} \sqrt{2})^{2}-\log_{\frac{1}{2}} x +m=0$ có nghiệm thuộc khoảng $(0,1)$.

Giải: Đáp án D

Tập xác định $D=(0,+\infty)$.

Ta có $4(\log_{2}  \sqrt{2})^{2}-\log_{\frac{1}{2}} x +m=0 \Leftrightarrow (\log_{2} x)^{2}+\log_{2} x+m=0$.

Đặt $t=\log_{2}(x)$. Do $x \in (0,1)$ nên $t<0$. Bài toán trở thành tìm m để $t^{2}+t+m=0$ có ít nhất một nghiệm $t<0$.

Đặt $f(t)=t^{2}+ \Rightarrow f'(t)=2t+1=0 \Leftrightarrow t=-\frac{1}{2}$. Ta có bảng biến thiên

Để phương trình $t^{2}+t=-m$ có ít nhất một nghiệm $t<0$ thì $-m  \geq -\frac{1}{4} \Leftrightarrow m \leq \frac{1}{4}$. 

Câu 21: Sự tăng trưởng của loại vi khuẩn tuân theo công thức $S=A.e^{rt}$, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r>0), t là thời gian tăng trưởng (tính theo đơn vị là giờ). Biết số vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Thời gian để vi khuẩn tăng gấp đôi số ban đầu gần đúng nhất với kết quả nào sau đây?

Giải: Đáp án B

Ta có $300=100. e^{5r}\Leftrightarrow e^{5r}=3\Leftrightarrow 5r=\ln 3\Leftrightarrow r=\frac{\ln 3}{5}.$

Gọi thời gian cần tìm là t. Theo yêu cầu của bài toán ta có $200=100.e^{rt}\Leftrightarrow e^{rt}=2\Leftrightarrow rt=\ln 2\Leftrightarrow t=\frac{5 \ln 2}{\ln 3} \approx 3,15$(h).

Vậy t=3 giờ 9 phút.

Câu 28: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100m và chiều rộng là 60m người ta làm một con đường nằm trong sân (hình vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai hình elip. Elip của đường viền ngoài có trục lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh của hình chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là 2m. Kinh phí cho mỗi $m^{2}$ làm đường là 600.000 đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó (số tiền làm tròn đến hàng nghìn).

Giải: Đáp án A

Xét hệ trục tọa độ 0xy đặt gốc tọa độ 0 vào tâm của hình Elip.

Phương trình Elip của đường viền ngoài của con đường là $(E_{1}): \frac{x^{2}}{50^{2}}+\frac{y^{2}}{30^{2}}=1$. Phần đồ thị của $(E_{1})$ nằm bên trên trục hoành có phương trình $y=30 \sqrt{1-\frac{x^{2}}{50^{2}}}=f_{1}(x).$

Phương trình Elip của đường viền trong của con đường có phương trình  $(E_{2}): \frac{x^{2}}{48^{2}}+\frac{y^{2}}{28^{2}}=1$. Phần đồ thị của $(E_{1})$ nằm bên trên trục hoành có phương trình $y=28 \sqrt{1-\frac{x^{2}}{48^{2}}}=f_{2}(x).$

$S=2(\int _{-50}^{50} 30 \sqrt{1-\frac{x^{2}}{50^{2}}} dx-\int _{-48}^{48} 28 \sqrt{1-\frac{x^{2}}{48^{2}}} dx)$.

Tính tích phân $I=2 \int _{-a}^{a} b \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}} dx, (a, b \in \mathbb{R}^{+})$.

Đặt $x=a \sin t\Rightarrow dx = a \cos t dt$.

Khi đó $I=2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} b\sqrt{1-\sin^{2}t}a. \cos tdt=ab\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2t) dt=ab \pi$.

Do đó $S=50.30. \pi-48.28. \pi=156 \pi$. 

Vậy tổng số tiền làm con đường là $600000. S \approx 294053000$ (đồng).