Lời giải bài số 22, 47, 50 Đề thi thử THPT quốc gia môn toán năm 2017- Đề tham khảo số 5

Câu 22. Trong các số phức z thỏa mãn $|\frac{2z-i}{2+iz}| \leq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của $|z|$.

A. 1.

B. 2.

C. $\sqrt{2}$.

D. $\sqrt{3}$.

Giải: Đáp án A.

Ta có $|\frac{2z-i}{2+iz}| \leq 1 \Leftrightarrow \frac{|2z-i|}{|2+z|}\leq 1 \Leftrightarrow  |2z-i| \leq |2+iz| \Leftrightarrow |2z-i|^{2} \leq |2+iz|^{2}$.

Vì $|z|^{2}=z.\overline{z}$ nên bất đẳng thức trên tương đương với $(2z-i).\overline{2z-i} \leq (2+iz)\overline{2+iz}$

$\Leftrightarrow (2z-i)(2\overline{z}+i)\leq (2+iz)(2-i\overline{z})\Leftrightarrow 3.z.\overline{z} \leq 3 \Leftrightarrow |z|^{2}\leq 1 \Rightarrow |z| \leq 1$.

Câu 47. Có hai chiếc cọc cao 10 m và 30 m lần lượt đặt tại hai vị trí A B , . Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng 24 m. Người ta chọn một cái chốt ở vị trí M trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để giăng dây nối liền hai đỉnh C và D của cọc (như hình vẽ). Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào để tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất?

A. AM=12m, BM=12m.

B. AM=7m, BM=17m.

C. AM=4m, BM=20m.

D. AM=6m, BM=18m. 

Giải: Đáp án D.

Gọi C' là điểm đối xứng của C qua AB. Khi đó $MC+MD =MC'+MD \geq C'D$. Gọi K là giao điểm của C'D và AB.

Dấu bằng xảy ra khi $M\equiv K$.

Sử dụng tam giác đồng dạng AKC' và tam giác BKD có $\frac{AK}{KB}=\frac{AC'}{BD}=\frac{1}{3}\Rightarrow KB=3AK.$. 

Mà AK+KB=AB=24.

Suy ra $AK=6m, BK=18m$.

Câu 50. Cho hình chữ nhật MNQP nội tiếp trong một nửa đường tròn bán kính R. Chu vi hình chữ nhật lớn nhất khi tỉ số $\frac{MN}{MP}$ bằng:

A. 2.
B. 4.
C. 1.
D. 0,5

Giải:

Đặt OM=x, MP=y (x,y>0).

Ta có $OP^{2}=OM^{2}+MP^{2} \Rightarrow x^{2}+y^{2}=R^{2}$.

Chu vi của hình chữ nhật MNQP là $P=2(2x+y)=4x+2y \Rightarrow P^{2}=(4x+2y)^{2}$.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có $P^{2} \leq (4^{2}+2^{2})(x^{2}+y^{2})\Rightarrow P \leq 2 \sqrt{5}R$.

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{4}{x}=\frac{2}{y} \Rightarrow x=2y$.

Ta có $\frac{MN}{NP}=\frac{2x}{y}=4$.