Lời giải bài số 23, 39, 43 Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2017 của Sở GD và ĐT Bắc Ninh

Câu 23: Cho hình lục giác đều ABCDEF có cạnh bằng 4. Cho lục giác đó quay quanh đường thẳng AD. Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra.

A. $V=128 \pi$.

B. $V=32 \pi$.

C. $V=16 \pi$.

D. $V=64 \pi$.

Giải: Đáp án D.

$V_{ABCDEF}=V_{tru}-2V_{non}=\pi.BC. HD^{2}+\frac{2}{3} \pi CH. HD^{2}$.

$\Rightarrow V_{ABCDEF}=\pi [a.(\frac{4 \sqrt{3}}{2})^{2}+\frac{2}{3}.2. (\frac{4\sqrt{3}}{3})^{2}]=64 \pi$.

Câu 39: Cho hình nón chứa bốn mặt cầu có bán kính r, trong đó có ba mặt cầu tiếp xúc với đáy, tiếp xúc với nhau và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Mặt thứ tư tiếp xúc với ba mặt cầu kia và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Tính chiều cao của hình nón.

A. $r(1+\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3})$.

B. $r(2+\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{6}}{3})$.

C. $r(1+\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{6}}{3})$.

D. $r(1+\sqrt{6}+\frac{2\sqrt{6}}{3})$.

Giải: Đáp án C

Gọi $B, I_{1}, I_{2}, I_{3}$ lần lượt là tâm các mặt cầu (trong đó B là tâm mặt cầu thứ tư như trong mô tả)

Khi đó $BI_{1}I_{2}I_{3}$ là tứ diện đều cạnh bằng 2r. Gọi C là trọng tâm tam giác $I_{1}I_{2}I_{3}$ $ \Rightarrow I_{1}C=\frac{2 r \sqrt{3}}{3}$.

Phân tích h=AD=AB+BC+CD (tính các cạnh theo r). Dễ thấy $CD=r$. Ta có 

$BC=\sqrt{BI_{1}^{2}-CI_{1}^{2}}=\frac{2r \sqrt{6}}{3}$.

Đồng thời tam giác ABH đồng dạng với tam giác $BCI_{1}$ (g-g) $\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{BH}{CI_{1}}\Rightarrow AB=r \sqrt{3}$.

Vậy $h=AD+AB+BC+CD=r(1+\sqrt{3}+\frac{2r\sqrt{6}}{3})$.

Câu 43: Cho hàm số $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$. Nếu phương trình $f(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình $2f(x). f''(x)=[f'(x)]^{2}$ có bao nhiêu nghiệm.

A. 3.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Giải: Đáp án C.

Sử dụng phương pháp chuẩn hóa ta chọn $a=0, b=-3, c=0 \Rightarrow y=x^{3}-3x$ thỏa mãn y=0 có ba nghiệm phân biệt. Khi đó $y'=3x^{2}-3, y''=6x$.

Do đó $2f(x). f''(x)=[f'(x)]^{2} \Leftrightarrow 2(x^{3}-3x)6x=(3x^{2}-3)^{2}$

$\Leftrightarrow 12x^{4}-36x^{2}=9x^{4}-18x^{2}+9$

$\Leftrightarrow 3x^{4}-18x^{2}-9=0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{x^{2}=3+2 \sqrt{3}>0\hfill \cr x^{2}=3-2\sqrt{3}<0 \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow  x=\pm \sqrt{3+2 \sqrt{3}}.$