Lời giải bài số 31, 37, 38, 45- đề thi minh họa THPT Quốc gia của Bộ lần 3

Câu 31: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=(m-1)x^{4}-2(m-3)x^{2}+1$ không có cực đại.

A. $1 \leq m \leq 3$.

B. $m\leq 1$.

C. $m \geq 1$.

D. $1< m \leq 3$.

Giải: Đáp án A

Ta có $y'=4(m-1)x^{3}-4(m-3)x=4x[(m-1)x^{2}-m+3]$.

• Với m=1 $\Rightarrow y=4x^{2}+1$. Hàm số có một điểm cực tiểu.
• Với m>1 thì y là hàm trùng phương với a=m-1<0 $\Rightarrow$ y luôn có cực đại $\Rightarrow$ không thỏa mãn.
• Với m<1 thì y là hàm trùng phương với a=m-1>0.

Để hàm số không có cực đại thì $y'=0$ phải có nghiệm duy nhất x=0

$\Leftrightarrow (m-1)x^{2}-m+3=0$ có nghiệm duy nhất x=0 hoặc vô nghiệm.

$\Leftrightarrow  1<m \leq 3$

Vậy với $1 \leq m \leq 3 $ thì thỏa mãn đề bài.

Câu 33: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn $a \neq 1, a \neq \sqrt{b}$ và $ \log_{a} b =\sqrt{3}$. Tính $P=\log_{\frac{\sqrt{b}}{a}}\sqrt{\frac{b}{a}}$.

A. $P=-5+3 \sqrt{3}$.

B. $P=-1+ \sqrt{3}$.

C. $P=-1- \sqrt{3}$.

D. $P=-5-3 \sqrt{3}$.

Giải: Đáp án C

Ta có $P=\log_\frac{ \sqrt{b}} {a}(\frac{ \sqrt{b}}{a}.\sqrt{a})=1+\log_{\frac{\sqrt{b}}{a}}\sqrt{a} $

$=1+\log_{\frac{b}{a^{2}}}a=1+\frac{1}{\log_{a}\frac{b}{a^{2}}}$

$=1+\frac{1}{\log_{a}b-\log_{a}a^{2}}=1+\frac{1}{\sqrt{3}-2}=-1-\sqrt{3}.$

Câu 38: Cho hàm số f(x) thỏa mãn $\int _{0}^{1} (x+1)f'(x) dx=10$ và $2f(1)-f(0)=2$. Tính $I= \int_{0}^{1} f(x)dx$.

A. $I=-12.$

B. $I=8$.

C. $I=12$.

D. $I=-8$.

Giải: Đáp án D

Đặt $\left\{\begin{matrix} u=x+1\\dv=f'(x)dx \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dv\\ v=f(x) \end{matrix}\right. $

$\Rightarrow \int_{0}^{1}(x+1)f'(x)dx= \left.\begin{matrix} (x+1)f(x)\end{matrix}\right| _{0}^{1}-\int_{0}^{1}f(x)dx$.

$\Rightarrow 10=2 f(1)-f(0)-I \Rightarrow I=-8$.

Câu 45: Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong đoạn [-2017;2017] để phương trình$\log (mx)= 2 \log (x+1)$.

A. 2017.

B. 4014.

C. 2018.

D. 4015.

Giải: Đáp án C

$\log (mx)= 2 \log (x+1) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} mx>0, x+1>0\\ mx (x+1)^{2}\end{matrix}\right.$

TH1: Với x>0 thì m>0 khi đó ta có $m=\frac{(x+1)^{2}}{x}=x+\frac{1}{x}+2$.

Xét hàm số $f(x)=x+\frac{1}{x}+2 $ trên $(0,+\infty)$.

Ta có $f'(x)=1-\frac{1}{x^{2}}=0 \Rightarrow x=1$.

Lập bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm duy nhất thì m=3.

TH2: Với -1<x<0 thì m<0. Ta có 

$f'(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}}<0 \forall x \in (-1,0)$ nên hàm số luôn nghịch biến trên (-1,0).

Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow  m<0$.

Kết hợp với điều kiện $m \in [-2017,2017]$ thì có tất cả 2018 giá trị nguyên m cần tìm.