Lời giải bài số 7, 9, 21 đề thi thử THPT Quốc gia môn toán năm 2017 của Sở Giáo dục và đào tạo tỉnh Hưng Yên

Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ 0xyz, cho mặt phẳng (P): $2x-y-2z+1=0$ và ba điểm $A(1,-2,0), B(1,0,-1), C(0,0,-2)$. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc với ba đường thẳng AB, AC, BC?

A. 1 mặt cầu.

B. Vô số mặt cầu.

C. 4 mặt cầu.

D. 2 mặt cầu.

Giải: Đáp án C

Phương trình mặt phẳng (ABC): 2x-y-2z-4=0

Giả sử mặt cầu cần tìm có tâm I, bán kính R.

Gọi H, K, T, J lần lượt là hình chiếu của I lên AB, AC, BC, (ABC).

Theo tính chất tiếp xúc, ta có R=IH=IK=IT.

Suy ra 3 tam giác vuông $\Delta IJH=\Delta IJK=\Delta IJT (c-g-c)$ do đó JH=JK=JT suy ra J là tâm đường tròn nội tiếp hoặc bàng tiếp tam giác ABC. Vậy có 4 điểm J như vậy và ta sẽ có 4 điểm I tương ứng là hình chiếu của I lên (P). Tức là có 4 mặt cầu thỏa mãn.

Câu 9: Cho hình phẳng (H) gồm nửa hình tròn đường kính AB và tam giác đều ABC như hình vẽ. Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua C và song song với AB. Biết $AB=2 \sqrt{3} cm$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình (H) và trục $\Delta$.

A. $V=8 \sqrt{3}\pi +9 \pi^{2} cm^{3}$.

B. $V=8 \sqrt{3}\pi +\frac{9 \pi^{2}}{2} cm^{3}$.

C. $V=16 \sqrt{3}\pi +9 \pi^{2} cm^{3}$.

D. $V=16 \sqrt{3}\pi +\frac{27 \pi^{2}}{2} cm^{3}$.

Giải: Đáp án C

Chọn $C\equiv 0, \Delta \equiv 0x$, khi đó ta có tọa độ $A(-\sqrt{3},3), B(\sqrt{3},3)$ và phương trình đường tròn đường kính AB là $x^{2}+(y-3)^{2}=3$ và AC: $y=-\sqrt{3}x$, AB: $y=\sqrt{3}x$.

Phần phía trên của nửa đường tròn có phương trình $y=3+\sqrt{3-x^{2}}.$

Vì tính đối xứng của hình vẽ nên $V=2 \pi \int_{-\sqrt{3}}^{0} |(3+\sqrt{3-x^{2}})^{2}-(-\sqrt{3}x)^{2}|dx=16 \sqrt{3} \pi +9 \pi^{2}.

Câu 21: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị của hàm số $y=f'(x)$ như hình vẽ

Chọn khẳng định đúng

A. $f(c)>f(b)>f(a)$.

B. $f(b)>f(c)>f(a)$.

C. $f(b)>f(a)>f(c)$.

D. $f(c)>f(a)>f(b)$. 

Giải: Đáp án B

Chú ý theo định nghĩa tích phân và dựa vào đồ thị của hàm số, ta có diện tích của các hình phẳng:

$S_{1}=\int_{a}^{b}|f'(x)|dx=\int_{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a);$

$S_{2}=\int_{b}^{c}|f'(x)|dx=\int_{b}^{c}-f'(x)dx=f(b)-f(c);$

$S_{1}>S_{2}>0\Rightarrow f(b)>f(c)>f(a)$.